Тригонометриялық функциялар — элементар функциялар, олар тарихи пайда қараған кезде тік бұрышты үшбұрыштар және выражали байланысты ұзындықтарын тараптардың осы үшбұрыштар өткір бұрыштары кезінде гипотенузе (немесе равнозначно, тәуелділік хорда және биіктік орталық бұрыштың (доғаның) айналымда). Бұл функцияларды тапты широчайшее қолдану түрлі салалардағы ғылым. Кейіннен анықтау тригонометриялық функцияларының аясы кеңейтілді, олардың дәлел енді мүмкін еркін вещественное немесе тіпті кешенді саны. Зерттейтін қасиеттері тригонометриялық функциялар деп аталады тригонометрией.
– Тригонометрическим функцияларына мыналар жатады:
тікелей тригонометриялық функциялары
синус ( {\displaystyle \sin x} \sin x)
косинус ( {\displaystyle \cos x} \cos x)
тригонометриялық функциялар туындылары
тангенс ( {\displaystyle \mathrm {tg} \,x} \mathrm{tg}\, x)
котангенс ( {\displaystyle \mathrm {ctg} \,x} \mathrm{ctg}\, x)
басқа тригонометриялық функциялар
секанс ( {\displaystyle \sec x} \sec x)
косеканс ( {\displaystyle \mathrm {cosec} \,x} \mathrm{cosec}\, x)
Ағылшын және американдық әдебиет тангенс, котангенс және косеканс белгіленеді {\displaystyle \tan x,\cot x,\csc x} \tan x, \cot x, \csc x. Екінші дүниежүзілік соғысқа дейін Германия мен Францияда бұл функцияларды обозначались және біз[1], бірақ содан кейін бұл елдер көшті, англо-американдық стандарты.
Сонымен осы алты, сондай-ақ бар кейбір сирек қолданылатын тригонометриялық функциялар (версинус және т. б.), сондай-ақ кері тригонометриялық функция (арксинус, арккосинус және т. б.), қаралатын жекелеген баптарында.
Синус және косинус заттық сапасын қайта қарастыруды сұрайды білдіреді кезеңдік, үздіксіз және шексіз дифференцируемые вещественнозначные функциялары. Қалған төрт функциясы заттық осі сондай-ақ, вещественнозначные, мерзімдік және шексіз дифференцируемые анықтау саласындағы, бірақ үздіксіз. Тангенс және секанс бар алшақтықты екінші текті нүктелерінде {\displaystyle \pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}} \pm \pi n + \frac{\pi}{2}, ал котангенс және косеканс — нүктелерінде {\displaystyle \pm \pi n} \pm \pi n.
Графиктері, тригонометриялық функциялардың көрсетілді-сур. 1.Анықтау тәсілдері
Геометриялық анықтау
Сур. 2
Тригонометриялық функцияларды анықтау
Сур. 3
Сандық маңызы бар тригонометриялық функциялардың бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha ” тригонометрической шеңбердің радиусы-ке тең бірлікте
Әдетте тригонометриялық функциялар анықталады геометриялық[2]. Болсын бізге координаталардың декарттық жүйесі жазықтықтағы және салынған шеңбер радиусы {\displaystyle R}, R орталығымен басында координаттары {\displaystyle O} O. Кез келген бұрышы ретінде қарастыруға болады бұрылыс оң бағыттары абсцисс осіне дейін біраз сәуленің {\displaystyle OB} OB, бұл бұрылу бағыты сағат тіліне қарсы оң деп саналады, ал сағат тілімен — теріс. Абсциссу нүктелері {\displaystyle B} B белгілейміз {\displaystyle x_{B}} x_B, ординату белгілейміз {\displaystyle y_{B}} y_B (қараңыз 2-сурет).
Синусом деп аталады қатынасы {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.} \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
Косинусом деп аталады қатынасы {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.} \cos \alpha=\frac{x_B}{R}.
Тангенс ретінде айқындалады {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.} \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
Котангенс ретінде айқындалады {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.} \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
Секанс ретінде айқындалады {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.} \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
Косеканс ретінде айқындалады {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.} \operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.
Айқын маңызы бар тригонометриялық функциялардың тәуелді емес шама радиусы шеңбер {\displaystyle R}, R күшіне қасиеттері ұқсас фигуралар. Жиі бұл радиусы тең деп қабылдайды шамасы бірлі-жарым кесу, онда синус тең жай ординате {\displaystyle y_{B}} y_B, ал косинус — абсциссе {\displaystyle x_{B}} x_B. 3-суретте көрсетілген шамаларын тригонометриялық функциялар үшін бірлік шеңбер.
Егер {\displaystyle \alpha } \alpha — вещественное саны болса, онда синусом {\displaystyle \alpha } \alpha математикалық талдау деп аталады синус бұрышын, радианная шара, оның тең {\displaystyle \alpha } \alpha ұқсас басқа тригонометриялық функциялар.
Анықтау тригонометриялық функциялар үшін өткір бұрыштар
Сур. 4
Тригонометриялық функцияның сүйір бұрышына
Мектеп геометрия курсында тригонометриялық функцияларды өткір бұрышының ретінде айқындалады тараптардың қарым-қатынастары тік бұрышты үшбұрыштың[3]. Болсын OAB — тікбұрышты үшбұрыш жіті бұрышы α. Сонда:
Синусом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (қатынасы противолежащего катета – гипотенузе).
Косинусом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {ШАҢЫРАҚ}{OB}}} \frac{ШАҢЫРАҚ}{OB} (қатынасы прилежащего катета – гипотенузе).
Тангенсом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {AB}{ШАҢЫРАҚ}}} \frac{AB}{ШАҢЫРАҚ} (қатынасы противолежащего катета – прилежащему).
Котангенсом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {ШАҢЫРАҚ}{AB}}} \frac{ШАҢЫРАҚ}{AB} (қатынасы прилежащего катета – противолежащему).
Секансом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {OB}{ШАҢЫРАҚ}}} \frac{OB}{ШАҢЫРАҚ} (қатынасы гипотенузы – прилежащему катету).
Косекансом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {OB}{AB}}} \frac{OB}{AB} (қатынасы гипотенузы – противолежащему катету).
Президентіміз жүйесін координаттар басымен нүктесінде {\displaystyle O} O, бағыты абсцисс осі бойымен {\displaystyle ШАҢЫРАҚ} ШАҢЫРАҚ және қажет болған жағдайда өзгертіп бағдарлау (перевернув) үшбұрыш, сондықтан ол бірінші ширегінде координаттар жүйесін, және содан кейін, президентіміз шеңбер радиусы тең гипотенузе, бірден табамыз, бұл функцияларды анықтау әкеледі, сол нәтижеге, және алдыңғы.
Бұл анықтама бар біраз әдістемелік артықшылығы, өйткені талап етпейді түсінігін енгізу координаттар жүйесін, бірақ сондай-ақ, осындай ірі кемшілігі, бұл анықтау мүмкін емес тригонометриялық функциялар тіпті доғал бұрыштарды білу қажет шешу кезінде қарапайым міндеттерді орындау туралы тупоугольных треугольниках. (қараңыз: Теорема синустардың, Теорема косинусов).
Тригонометриялық функциялары мерзімді болып табылады функциялары кезеңдермен {\displaystyle 2\pi ~(360^{\circ })} 2 \pi ~ (360^\circ) синуса, косинуса, секанса және косеканса, {\displaystyle \pi ~(180^{\circ })} \pi~(180^\circ) тангенса және котангенса.
Тригонометриялық функцияның кез келген бұрышын жинақтауға болады тригонометрическим функцияларына өткір бұрышын пайдалана отырып, олардың кезеңділігі мен деп аталатын келтіру формулалары. Бұл, мысалы, орналасқан мәндерін тригонометриялық функциялардың кестелері бойынша, себебі кестелерде әдетте келтіріледі маңызы бар қала үшін ғана өткір бұрыштары.
Зерттеу функцияларды математикалық талдау
Анықтау тригонометриялық функцияларды дифференциалдық теңдеулер шешімдерінің
Функцияларды косинус және синус анықтауға четное (косинус) және тақ (синус) шешім дифференциалдық теңдеулер
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}, R(\varphi )=-R(\varphi ),} \frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = – R(\varphi),
қосымша шарттар мен талаптар {\displaystyle R(0)=1} R(0)=1 үшін, косинуса және {\displaystyle R'(0)=1}, R'(0)=1 үшін синуса, яғни бір айнымалы функцияның екінші туынды олардың тең ең функциялары, жекелеген минус белгісімен:
{\displaystyle \ \left(\cos x\right)”=-\cos x,} \ \left(\cos x\right)” = – \cos x,
{\displaystyle \ \left(\sin x\right)”=-\sin x.} \ \left(\sin x\right)” = – \sin x.
Анықтау тригонометриялық функцияларды шешімдер функционалдық теңдеулер
Функцияларды косинус және синус анықтауға болады[4] ретінде шешу ( {\displaystyle f} f {\displaystyle g} g тиісінше) жүйесінің функционалдық теңдеулер:
Тригонометриялық функцияларды — математикалық функцияларды бұрышынан. Олар сөзсіз маңызды геометрияны оқу барысында, сондай-ақ зерттеу кезінде мерзімді процестер. Әдетте тригонометриялық функциялар ретінде анықтайды тараптардың қарым-қатынастары тік бұрышты үшбұрыштың немесе ұзындығының белгілі бір кесінділерінің ” бірлік шеңбер. Қазіргі заманғы анықтау білдіреді тригонометриялық функциялары арқылы сомасының қатарлар немесе кейбір дифференциалдық теңдеулер кеңейтуге мүмкіндік береді облысы айқындау осы функцияларды еркін заттай санының және тіпті комплекс сандар.
Қазіргі уақытта бөледі алты негізгі тригонометриялық функциялары, төменде көрсетілген бірге уравнениями, связывающими олардың бір-бірімен. Үшін соңғы төрт функцияларын, осы ара деп жиі атайды анықтамалары осы функцияларды, алайда анықтауға болады бұл функцияны геометриялық немесе ма басқаша. Сонымен бірге, басқа да функциялары сияқты versin және exsec, бірақ олар қазіргі уақытта сирек қолданылады (қараңыз Сирек қолданылатын тригонометриялық функциялар). С тригонометрическими функциялары тығыз байланысты кері атындағы функциялары (қараңыз. Кері тригонометриялық функциялар)Тригонометриялық функцияларды прямоугольном үшбұрыш Өңдеу
Анықтау үшін тригонометриялық функциялар болса, онда бұрышы α, алайық еркін тікбұрышты үшбұрыш бар бұрышы α. Тараптар осы үшбұрыштың біз атай:
Гипотенуза — тарап, противолежащая тікелей бұрышында, ең ұзын жағы үшбұрыш. Бұл жағдайда, тарап c.
Противолежащий катет — катет, лежащий қарама-қарсы бұрышының. Мысалы, катет a — противолежащий қатысты бұрышында A.
Жақын жатқан катет — катет, тарап болып табылатын бұрыш. Мысалы, катет b — жақын жатқан қатысты бұрышында A.
Біз болжауға, бұл үшбұрыш жатыр евклидовой жазықтықта, сондықтан оның бұрыштары тең болса, онда π. Бұл бұрыштары арасындағы катетами және гипотенузой жатыр арасында 0 және π2. Пайдалана отырып, келтіру формулалары немесе анықтау арқылы единичную шеңбер, кеңейтуге болады облысы айқындау тригонометриялық функциялардың көптеген заттай сандар.
Толығырақ: https://powerpoint.kz/trigonometriyalyk-funkciyalar/
