Функцияның берілген аралықтағы ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін келесі қадамдарды орындаймыз:
1. Функцияның туындысын табамыз
y = (2-x) * e^(-x)
Көбейтіндінің туындысын қолданамыз: (uv)' = u'v + uv'
u = 2 - x => u' = -1
v = e^(-x) => v' = -e^(-x)
y' = -1 * e^(-x) + (2 - x) * (-e^(-x))
y' = -e^(-x) - 2e^(-x) + xe^(-x)
y' = e^(-x) (x - 3)
2. Туындыны нөлге теңестіріп, стационар нүктелерді табамыз
e^(-x) (x - 3) = 0
Көбейтінді нөлге тең болу үшін көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек:
e^(-x) = 0 => Бұл мүмкін емес, себебі экспоненциалды функция ешқашан нөлге тең болмайды
x - 3 = 0 => x = 3
3. Стационар нүктенің берілген аралыққа тиістілігін тексереміз
3 ∈ [0, 4] => стационар нүкте берілген аралыққа тиісті
4. Функцияның кесіндінің шеткі нүктелеріндегі және стационар нүктедегі мәндерін есептейміз
y(0) = (2 - 0) * e^(0) = 2 * 1 = 2
y(3) = (2 - 3) * e^(-3) = -1 * e^(-3) = -1/e³
y(4) = (2 - 4) * e^(-4) = -2 * e^(-4) = -2/e⁴
5. Табылған мәндерді салыстырып, ең үлкен және ең кіші мәндерін анықтаймыз
y(0) = 2
y(3) = -1/e³ ≈ -0.05
y(4) = -2/e⁴ ≈ -0.04
Жауабы:
Функцияның [0, 4] аралығындағы ең үлкен мәні 2
Функцияның [0, 4] аралығындағы ең кіші мәні -1/e³
