Қалай шешеді осындай есептерді + осы есеп шешімі

Question

Осындай сұрақтарды шешу жолдары  and mean square deviation of a random variable.

Answer 1

Берілген есептерді шығару үшін кездейсоқ шаманың математикалық үмітін, дисперсиясын және орташа квадраттық ауытқуын табу формулаларын қолданамыз.

155.

Үлестірім функциясы:

f(x) = \begin{cases} 0, & \text{егер } x \leq 0, \ 2x, & \text{егер } 0 < x \leq 1, \ 0, & \text{егер } x > 1 \end{cases}

Математикалық үміт:

M(X) = ∫^∞_-∞ x ⋅ f(x) dx = ∫¹₀ x ⋅ 2x dx = 2∫¹₀ x² dx = 2 ⋅ [x³/3]¹₀ = 2/3

Дисперсия:

D(X) = M(X²) - [M(X)]²

Алдымен M(X²)-ны табайық:

M(X²) = ∫^∞_-∞ x² ⋅ f(x) dx = ∫¹₀ x² ⋅ 2x dx = 2∫¹₀ x³ dx = 2 ⋅ [x⁴/4]¹₀ = 1/2

Енді дисперсияны есептейміз:

D(X) = 1/2 - (2/3)² = 1/2 - 4/9 = 1/18

Орташа квадраттық ауытқу:

σ(X) = √D(X) = √(1/18) = 1/(3√2) = √2 / 6

156.

Үлестірім функциясы:

f(x) = \begin{cases} 0, & \text{егер } x \leq -1, \ \frac{1}{8}(x+3), & \text{егер } -1 < x \leq 1, \ 0, & \text{егер } x > 1 \end{cases}

Математикалық үміт:

M(X) = ∫^∞_-∞ x ⋅ f(x) dx = ∫¹_-1 x ⋅ (1/8)(x+3) dx = (1/8) ∫¹_-1 (x² + 3x) dx = (1/8) ⋅ [x³/3 + 3x²/2]¹_-1 = 1/3

Дисперсия:

D(X) = M(X²) - [M(X)]²

Алдымен M(X²)-ны табайық:

M(X²) = ∫^∞_-∞ x² ⋅ f(x) dx = ∫¹_-1 x² ⋅ (1/8)(x+3) dx = (1/8) ∫¹_-1 (x³ + 3x²) dx = (1/8) ⋅ [x⁴/4 + x³]¹_-1 = 1/2

Енді дисперсияны есептейміз:

D(X) = 1/2 - (1/3)² = 1/2 - 1/9 = 7/18

Орташа квадраттық ауытқу:

σ(X) = √D(X) = √(7/18)

157.

Үлестірім функциясы:

f(x) = \begin{cases} 0, & \text{егер } x \leq 0, \ 0.5 \sin x, & \text{егер } 0 < x \leq \pi, \ 0, & \text{егер } x > \pi \end{cases}

Математикалық үміт:

M(X) = ∫^∞_-∞ x ⋅ f(x) dx = ∫^π₀ x ⋅ 0.5sin(x) dx = 0.5 ⋅ [-xcos(x) + sin(x)]^π₀ = π/2

Дисперсия:

D(X) = M(X²) - [M(X)]²

Алдымен M(X²)-ны табайық:

M(X²) = ∫^∞_-∞ x² ⋅ f(x) dx = ∫^π₀ x² ⋅ 0.5sin(x) dx = 0.5 ⋅ [2xsin(x) + (2-x²)cos(x)]^π₀ = (π² - 4)/2

Енді дисперсияны есептейміз:

D(X) = (π² - 4)/2 - (π/2)² = π²/2 - 2 - π²/4 = π²/4 - 2

Орташа квадраттық ауытқу:

σ(X) = √D(X) = √(π²/4 - 2)

158.

Үлестірім функциясы:

f(x) = \begin{cases} 0, & \text{егер } x < 0, \ x - x⁴, & \text{егер } 0 \leq x \leq 2, \ 0, & \text{егер } x > 2 \end{cases}

Математикалық үміт:

M(X) = ∫^∞_-∞ x ⋅ f(x) dx = ∫²₀ x ⋅ (x - x⁴) dx = ∫²₀ (x² - x⁵) dx = [x³/3 - x⁶/6]²₀ = 8/3 - 64/6 = -8/3

Дисперсия:

D(X) = M(X²) - [M(X)]²

Алдымен M(X²)-ны табайық:

M(X²) = ∫^∞_-∞ x² ⋅ f(x) dx = ∫²₀ x² ⋅ (x - x⁴) dx = ∫²₀ (x³ - x⁶) dx = [x⁴/4 - x⁷/7]²₀ = 4 - 128/7 = -100/7

Енді дисперсияны есептейміз:

D(X) = -100/7 - (-8/3)² = -100/7 - 64/9 = -1544/63

Орташа квадраттық ауытқу:

σ(X) = √D(X) = √(-1544/63) (Бұл жағдайда дисперсия теріс мәнге ие, бұл мүмкін емес. Үлестірім функциясын тексеріп шығу қажет.)

Ескерту: Кейбір есептерде интегралдарды есептеу қиын болуы мүмкін. Бұл жағдайда интегралдар кестесін немесе онлайн интеграл калькуляторын қолдануға болады.