Тік төртбұрышты алаңның ең үлкен ауданын табу
Есеп: Тік төртбұрышты алаңды ұзындығы 110 м болатын сыммен қоршау керек. Алаңның ауданы ең үлкен болу үшін, оның ұзындығы мен ені қандай болу керек?
Шешуі:
1. Белгілеулер енгіземіз:
Алаңның ұзындығын a деп белгілейміз.
Алаңның енін b деп белгілейміз.
2. Қоршаудың ұзындығын өрнектейміз
Қоршау алаңның периметрі бойынша өтеді. Тік төртбұрыштың периметрінің формуласы:
P = 2a + 2b
Есептің шарты бойынша, қоршаудың ұзындығы 110 м:
2a + 2b = 110
3. Ауданын өрнектейміз
Тік төртбұрыштың ауданының формуласы:
S = a * b
4. Бір айнымалы арқылы өрнектейміз
Периметрдің формуласынан b-ны өрнектейміз:
2b = 110 - 2a
b = 55 - a
Бұл өрнекті ауданның формуласына қоямыз
S = a * (55 - a)
S = 55a - a²
5. Ауданы ең үлкен мәнді қабылдайтын a-ны табамыз
Алаңның ауданы квадрат теңдеуімен өрнектелген. Оның графигі төмен қарай бағытталған парабола болады. Параболаның ең жоғарғы нүктесінде аудан ең үлкен мәнді қабылдайды. Бұл нүктенің абсциссасы параболаның төбесінің абсциссасына тең:
a_төбе = -b / 2a (мұндағы a және b - квадрат теңдеуінің коэффициенттері)
Біздің жағдайда:
S = -a² + 55a
a = -1, b = 55
a_төбе = -55 / (2 * -1) = 27.5
6. Енін табамыз
b = 55 - a = 55 - 27.5 = 27.5
Жауабы: Алаңның ауданы ең үлкен болу үшін оның ұзындығы мен ені 27,5 м болу керек. Бұл жағдайда алаң шаршы пішінді болады.
