Question

Мынадай оң сандар тізбегі a1, a2, ..., an, ... арифметикалық прогрессияны, ал  Мынадай оң сандар тізбегі b1, b2, ..., bn, ... геометриялық прогрессияны құрайтыны  белгілі. Егер  a1 ≠ a2, a1 = b1 және  a2 = b2 деп ұйғарып, кез келген натурал  n, n > 2 үшін an < bn, болатынын дәлелдеңіздер

Answer 1

N > 2-де әрбір табиғи n үшін an < bn теңсіздігін дәлелдейік.

Тапсырма шартынан біз мұны білеміз:
a1 = b1, a2 = b2, және a1 > a2 (өйткені арифметикалық прогрессия артады).

Әрі қарай, өйткені B1, b2 тізбегі, ... геометриялық прогрессияны құрайды, содан кейін:
b2 = b1 * q, b3 = b2 * q, ..., bn = b1 * q^(n-1), ...

Мұндағы q - геометриялық прогрессияның мультипликаторы, ол жақын мүшелердің қатынасы болып табылады.

Бастап шарттар, a1 = b1 және a2 = b2 келесідей:
* a1 * q = a2
* b1 * q = b2

Мұны Арифметикалық прогрессияның монотондылығы туралы тұжырыммен біріктірейік:
a1 > a2 --> a1 * q > a2 * q

Соңғы теңсіздік жүйесі бізге a1 * q > A2 * q екенін айтады, бұл b1 * q > b2 екенін дәлелдейді, өйткені a1 = b1 және a2 = b2.

Енді N > 2 үшін қарастырайық, өйткені n = 1 және n = 2 дәлелденген:
N > 2 ұлғайған кезде N одан да көп an < BN деген теңсіздіктің орындалуын қамтамасыз етуі керек, өйткені геометриялық прогрессияның әрбір келесі мүшесі q - ға көбейту арқылы артады, бұл an және bn мәндерінде әлі де байқалады, сондықтан а тізбегі b тізбегіне қарағанда тезірек өседі.