1 сұраққа жауап
Фигураның ауданын табу үшін алдымен берілген сызықтардың қиылысу нүктелерін табу керек. Ол үшін теңдеулер жүйесін шешеміз:
y = 2x + 2 y = x²
Бірінші теңдеуді екіншісіне қойып, келесі квадрат теңдеуді аламыз:
x² = 2x + 2
Теңдеуді ықшамдап, келесі түрге келтіреміз:
x² - 2x - 2 = 0
Квадрат теңдеудің түбірлерін табамыз:
x₁ = 1 + √3, x₂ = 1 - √3
Бұл нүктелер қисық сызықты трапецияның интегралдау шектері болады.
Енді ауданды есептеу үшін интегралды қолданамыз:
S = ∫[from 1-√3 to 1+√3] (2x + 2 - x²) dx = = (x² + 2x - x³/3) |[from 1-√3 to 1+√3] = = ((1+√3)² + 2(1+√3) - (1+√3)³/3) - ((1-√3)² + 2(1-√3) - (1-√3)³/3) = = (4 + 2√3 + 2 + 2√3 - (1 + 3√3 + 9 + 3√3)/3) - (4 - 2√3 + 2 - 2√3 - (1 - 3√3 + 9 - 3√3)/3) = = (6 + 4√3 - (10 + 6√3)/3) - (6 - 4√3 - (10 - 6√3)/3) = = (18 + 12√3 - 10 - 6√3)/3 - (18 - 12√3 - 10 + 6√3)/3 = = (8 + 6√3)/3 - (8 - 6√3)/3 = = 12√3 / 3 = 4√3
Сонымен, берілген сызықтармен шектелген фигураның ауданы 4√3 шаршы бірлікке тең.
2 сұраққа жауап
Фигураның ауданын табу үшін алдымен берілген сызықтардың қиылысу нүктелерін табу керек. Ол үшін теңдеулер жүйесін шешеміз:
y = 3x
y = x² + 3x
Бірінші теңдеуді екіншісіне қойып, келесі квадрат теңдеуді аламыз:
x² + 3x = 3x
Теңдеуді ықшамдап, келесі түрге келтіреміз:
x² = 0
Бұл теңдеудің жалғыз шешімі бар:
x = 0
Демек, сызықтар тек бір нүктеде қиылысады, яғни олармен шектелген фигура жоқ. Сондықтан, фигураның ауданы 0-ге тең.
Бұл жағдайды графикалық түрде көрсету үшін екі функцияның графигін салуға болады. Сонда олардың тек бір нүктеде қиылысатынын және жабық фигура құрмайтынын көруге болады.
