Есепті шешу:
1. Теориялық негіз:
Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі үшбұрыш қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлардың қиылысу нүктесінде жатады.
Жанама мен радиус жанасу нүктесінде перпендикуляр.
Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы: R = (a * b * c) / (4 * S), мұндағы a, b, c - үшбұрыш қабырғалары, S - үшбұрыш ауданы
2. Сурет салу:
ABC үшбұрышын салыңыз.
Сырттай сызылған шеңбердің центрін O деп белгілеңіз.
Шеңбер радиусы 4 см болғандықтан, OA = OB = OC = 4 см.
BC қабырғасы шеңберге D нүктесінде жанассын.
BD = 4 см, CD = 5 см болсын.
[Image: Triangle ABC with circumcircle, center O, tangent point D on BC, BD = 4, CD = 5, OA = OB = OC = 4]
3. Қолданылатын қасиеттер:
∠ODB = ∠ODC = 90° (жанама мен радиус жанасу нүктесінде перпендикуляр)
BD * DC = AD² (жанаманың квадраты екі кесіндінің көбейтіндісіне тең)
a = BC = BD + DC = 9 см
cos ∠BOC = (BO² + CO² - BC²) / (2 * BO * CO) (косинустар теоремасы)
∠BAC = 1/2 ∠BOC (сырттай сызылған бұрыш іштей сызылған бұрыштың жартысына тең)
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (синустар теоремасы)
4. Есептеу:
AD² = BD * DC = 4 * 5 = 20
AD = √20 = 2√5 см
cos ∠BOC = (4² + 4² - 9²) / (2 * 4 * 4) = (32 - 81) / 32 = -49/32
∠BOC = arccos(-49/32) ≈ 131.41°
∠BAC = 1/2 ∠BOC ≈ 65.7°
a / sin A = 2R
9 / sin 65.7° = 2 * 4
9 / 0.91 ≈ 8
b ≈ 9.89 см
Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180°
∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°
∠ABC + ∠ACB ≈ 180° - 65.7° ≈ 114.3°
b / sin B = 2R
9.89 / sin B = 8
sin B ≈ 0.8
∠B ≈ 53.13° немесе ∠B ≈ 126.87°
1-жағдай: ∠B ≈ 53.13°
∠C ≈ 114.3° - 53.13° ≈ 61.17°
c / sin C = 2R
c / sin 61.17° = 8
c / 0.877 ≈ 8
c ≈ 7.02 см
2-жағдай: ∠B ≈ 126.87°
∠C ≈ 114.3° - 126.87° ≈ -12.57° Бұл мүмкін емес, себебі үшбұрыштың ішкі бұрышы теріс бола алмайды
Жауабы: Үшбұрыштың қабырғалары шамамен 9 см, 9.89 см және 7.02 см.
