Пифагор теоремасы
Пифагор теогремасы — тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының арасындағы байланысты тұжырымдайтын геометрия теоремасы. Пифагор теогремасы Пифагорға дейін де белгілі болған, бірақ оны жалпы түрде дәлелдеген Пифагор. Алғашында теорема тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттеріне салынған квадраттар аудандарының қатынасын тұжырымдаған: гипотенузаға тұрғызылған квадрат ауданы катеттерге тұрғызылған квадраттар аудандарының қосындысына тең. Пифагор теогремасы қысқаша былай тұжырымдалады: тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттері квадраттарының қосындысына тең. Пифагор теогремасына төмендегідей кері теорема да дұрыс: егер үшбұрыштың бір қабырғасы ұзындығының квадраты қалған екі қабырғасы ұзындықтарының квадратына тең болса, онда ол үшбұрыш тік бұрышты болады.
Теореманың тарихы
Теоременың тарихы ежелгі Қытайдан бастау алады. Ондағы негізгі назар аудартатын математикалық кітап Чу – пей. Бұл шығармада қабырғалары 3,4,5 – ке тең пифагор үшбұрышы туралы айтылады. «Егер тік бұрышты құрайтын 3 – ке тең қабырға мен 4 – ке тең биіктіктің ұштарын қоссақ пайда болған түзу 5 – ке тең болады.» Бұл кітапта үнді Бхаскар геометриясындағы сызбанұсқаға ұқсас сурет бар. Кантор (ұлы неміс математика тарихын зерттеуші)
деп есептеген. Бұл теңдік египтіктерге б .з.д. 2300 жылы Аменемхета I патшаның кезінде белгілі болған (Берлин музейіндегі 6619 - жазбалар бойынша). Кантордың ойынша гарпедонаптар немесе «арқан тартушылар» тік бұрышты қабырғалары 3,4,5 – ке тең тікбұрышты үшбұрыштар арқылы тұрғызған. Олардың құрылу әдісін оңай көрсетуге болады. Ұзындығы 12 метрге тең арқанды алып,бір ұшынан 3 метр,екінші ұшынан 4 метр арақашықтықты өлшеп белгілейміз. Тік бұрыш 3 – ке және 4 – ке тең қабырғалар арасында болады. Қабырғалардың ұштарының арақашықтығы 5 – ке тең болады. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадраттың ауданы катеттеріне салынған квадраттардың аудандарының қосындысына тең... Бұл Пифагор теоремасы деп аталатын ежелден белгілі геометриялық теорема. Гректің ұлы математигі , әрі философы Пифагор Самосский осыдан 2,5 мың жыл бұрын өмір сүрген. Пифагор Шығыс елдеріне, Египетке және Вавилонға көп саяхат жасаған.Оңтүстік Италияның грек колонияларының бірінде ежелгі Грецияның ғылыми және саяси өмірінде үлкен роль атқарған белгілі «Пифагор мектебінің» негізін салған. Бұл белгілі геометриялық теореманың дәлелдеуін Пифагор практикада қолдана білген. Бірақ, бұл теореманы Пифагорға дейін 1500 жыл бұрын ежелгі египеттіктер қабырғалары 3,4 және 5 тең болатын үшбұрыш тікбұрышты болатынын білген және бұл қасиетті жер учаскелерін, құрылыс тұрғызу үшін қолданған. Сонымен қатар мың жылдықтар бұрын Египеттегі, Вавилондағы, Қытайдағы үлкен храмдар салу үшін де қолданған. Пифагордан 600 жыл бұрын қытайдың математика-астрономиялық «Чжоу-би» шығармасында тікбұрышты үшбұрышқа қатысты басқа да теоремалар арасында Пифагор теоремасы да бар. Бұдан да ертерек теорема үндістерге де белгілі болған. Теореманың қарапайым дәлелдеуі Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттеріне салынған квадраттардың қосындысымен тең шамалы. Теореманың қарапайым дәлелдеуі тең бүйірлі үшбұрыш жағдайында қарастырылады. Теореманың өзі де осыдан басталған.
Теореманың дұрыстығына көз жеткізу үшін тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар мозаикасына қарау жеткілікті. Мысалы, ΔABC үшін : АС гипотенузасына салынған квадрат 4 үшбұрыштан құралған, ал катеттерге салынған квадраттардың әрқайсысы екі үшбұрыштан тұрады. Теорема дәлелденді.
Теореманы алгебралық әдіспен дәлелдеу
Т - катеттері а, b және гипотенузасы с болатын тікбұрышты үшбұрыш болсын. ( а-сур.). с2=а2+b2 екенін дәлелдеу керек.
Қабырғалары а+b -ға тең Q квадратын саламыз(б-сур.). Q квалратының қабырғаларынан А, В, С, D нүктелерін, пайда болған АВ, ВС, CD, DA кесінділері катеттері а және b –ға тең Т1, Т2, Т3, Т4 тікбұрышты үшбұрыштар құратындай етіп саламыз. ABCD тіктөртбұрышын Р деп белгілейміз. Енді Р қабырғалары с-ға тең квадрат екенін көрсетуіміз қажет.
Барлық Т1, Т2, Т3, Т4 тік бұрышты үшбұрыштары Т тік бұрышты үшбұрышына тең (екі катеті бойынша). Сондықтан олардың гипотенузалары Т тікбұрышты үшбұрышының гипотенузасына, яғни с кесіндісіне тең. Енді бұл төртбұрыштың бұрыштары тік екенін дәлелдейміз.
және - Т үшбұрышының сүйір бұрыштары. Онда + = 90° екендігі белгілі. Р төртбұрышының А төбесіндегі бұрышы , бұрыштарымен қоса жазыңқы бұрышты құрайды. Сондықтан + + =180°. + = 90° болғандықтан =90°. Р төртбұрышының басқа бұрыштарының да тік екендігі дәл осылай дәлелденеді. Осыдан, Р төртбұрышы қабырғасы с болатын квадрат екендігі шығады.
Қабырғасы а+b –ға тең Q квадраты қабырғасы с-ға тең Р квадраты мен Т үшбұрышына тең төрт үшбұрыштан тұрады. Сондықтан олардың аудандары үшін S(Q)=S(P)+4S(T)орындалады.
S(Q)=(a+b)2; S(P)=c2 және S(T)=½a*b өрнектерін S(Q)=S(P)+4S(T) теңдігіне қою арқылы (a + b)2 = c2 + 4*½a*b теңдігін аламыз. (a+b)2=a2+b2+2*a*bболғандықтан (a+b)2=c 2+4*½a*b теңдігін мына түрде жазуға болады: a2+b2+2*a*b=c2 +2*a*b.
a2+b2+2*a*b=c2+2*a*b теңдігінен с2=а2+b2 тең екендігі шығады.
Фигуралардың тең шамалылығын пайдала отырып дәлелдеу
Берілген тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттерге салынған квадраттар құрастырылған фигуралардан тұратынын дәлелдеуді қарастыруға болады. 2 суретте екі тең квадраттар бейнеленген. Әрбір квадраттың қабырғаларының ұзындығы а + b-ға тең. Квадраттардың әрбіреуі квадраттар мен тікбұрышты үшбұрыштардан тұратын бөліктерге бөлінген.Егер квадрат ауданынан катеттері а және b-ға тең тік бұрышты үшбұрыштың 4 еселенген ауданын алып тастасақ, онда тең шамалы аудандар қалады, яғни c2 = a2 + b2 . Бұл дәлелдеуді ұсынған ежелгі үндістер дәлелдеуді жазбаған, тек сызбаны «қара!» деген сөзбен түсіндірген.
