Бас жиынтықтың Х сандық белгісі мәндерінің өз орта мәнінің маңайында шашырауын сипаттау үшін бас дисперсия сипаттамасы енгізіледі. Бас дисперсиясы деп бас жиынтық белгісі мәндерінің орта
мәнінен ауытқуының квадратының орта арифметикалық
мәнін айтады. Егер N көлемді бас жиынтық белгісінің барлық х1, х2 ,.., хN мәндеріәртүрлі болса, онда Бас жиынтықтың Х сандық белгісі мәндерінің өз орта мәнінің маңайында шашырауын
сипаттау үшін бас дисперсия сипаттамасы енгізіледі.бас дисперсиясы деп бас жиынтық белгісі мәндерінің орта мәнінен ауытқуының квадратының орта арифметикалық мәнін айтады.
Егер N көлемді бас жиынтық белгісінің барлық х1, х2 ,.., хN мәндері әртүрлі болса, онда
Егер N көлемді бас жиынтық
белгісінің барлық х1, х2 ,..,
хN мәндері әртүрлі болса, онда
Егер белгінің барлық х1, х2 ,.., хк мәндерінің сәйкес жиіліктері N1, N2, …, Nkбар болса, және N1+N2+ +…+Nk=N, онда :
Егер белгінің барлық х1, х2 ,..,
хк мәндерінің сәйкес жиіліктері
N1, N2, …, Nkбар болса,
және N1+N2+ +…+Nk=N, онда :
Бас жиынтықтың сандық белгісі мәндерінің өз орта мәнінің маңайында шашырауын сипаттау үшін дисперсиядан басқа орта квадраттықауытқуды пайдаланады.
Бас орташа квадраттық ауытқу деп бас
дисперсиядан алынған квадрат түбірді
айтады:
Таңдама дисперсия Dт деп белгінің бақыланатын мәндерініңорта мәнінен ауытқу квадраттарының орта арифметикалық мәнін айтады.
Егер nкөлемді таңдаманың барлықx1,
x2,….xnбелгілерінің мәндері әр түрлі болса,
онда :
Егер x1, x2,….xn мәндерінің жиіліктері бар және сәйкесіншеn1, n2, …, nk болса, мұндағы n1+ n2+ …+ nk=n, онда :
Егер x1, x2,….xn мәндерінің жиіліктері
бар және сәйкесіншеn1, n2, …,
nk болса, мұндағы
n1+ n2+ …+ nk=n, онда :
Теорема: Дисперсия таңдама мәндерінің квадраттарының орта мәні мен орта мәнінің квадратының айырымына тең:
Орта квадраттық ауытқу деп дисперсиядан алынған квадрат түбірді айтады
Орта квадраттық ауытқудың қолданылуы:
а)вариациялық қатардың өзгергіштігі жөнінде пайымдау және орта шамалардың типтілігін салыстырмалы түрде бағалау. Бұл белгілердің тұрақтылығын анықтау барысында дифференциальды диагностикада аса қажет;
б)вариациялық қатарды қайта құру,яғни оның жиілік сипаттамасын «үш сигма» ережесі негізінде қалпына келтіру үшін. М±3σ аралығында барлық варианталардың 99,7% , М±2σ аралығында— 95,5% және М±1σ аралығында — 68,3%;
в)«ырғып шығушы» варианталарды айқындау үшін (нақты және қайта құрылған вариациялық қатарларды салыстырғанда);
г) сигмальдық бағалар көмегімен қалыпты жағдай мен патологиялық жағдайдағы параметрлерді анықтау үшін;
д) вариациякоэффициентін есептеу үшін;
е) орта арифметикалық шаманың қатесін есептеу үшін;
Вариациякоэффициенті–бұл вариациялық қатардың өзгергіштігінің салыстырмалы өлшемі. Вариация коэффициенті(C) -орта квадраттық ауытқудың орта арифметикалық шамаға проценттік қатынасы:
Вариациякоэффициентінің қолданылуы. әрбір нақты вариациялық қатардың әртүрлілігін бағалау және, сәйкес, әр орта мәннің типтілігін пайымдау үшін. С<10%болғанда қатардың әртүрлілігі әлсіз,10% < С< 20% -орта,алС>20% күшті болып саналады. Қатардың әртүрлілігінің күшті болуы сәйкес орта шаманың типтілігінің аз екендігін
көрсетеді, сондықтан оны практикалық мақсатта қолдану маңызды емес.
ҮЛГІ-ЕСЕП
Есептің шарты.N қаласында 2000 ж. 7жасар ұл балалардың дене салмақтарын өлшеу жүргізілді. N қаласында 1990 ж.жүргізілген осыған ұқсас зерттеудің деректері бойынша 7-жасар ұл
балалардың орташа дене салмақтары 23,8 кг, σ = ± 3,6 кг.болған.
Тапсырма.
1. Орта арифметикалық шаманы () және вариациялық қатардың әртүрлілік критерийлерін (σ, С) есептеңдер.
2. Алынған нәтижелерді бағалаңдар, оларды алдыңғы зерттеудің деректерімен салыстырыңдар, сәйкес қорытынды жасаңдар.
ЕСЕПТІҢ ШЕШУІ:
N қаласында 2000 ж. 7 жасар ұл балалардың дене салмақтарын өлшеу нәтижелері.
Дене салмағы(кг) Интервалдыңортасы(ортадағы варианта) Ұл балалар саны 15-18,9
17
16
272
-7
49
784
19-22,9
21
27
567
-3
9
243
23-26,9
25
32
800
+1
1
32
27-30,9
29
16
464
+5
25
400
31-34,9
33
9
297
+9
81
729
Топталған вариациялық қатарда ортадағы варианта көрші интервалдардың бастапқы варианттарының жарты қосындысы ретінде есептеледі.
Қорытынды:
1 N қаласында 2000 ж. 7жасар ұл балалардың дене салмақтарының орташа мәні 24,0 кг.
2. σ = ±4,68 кг.
3. 19,5% -ке тең вариация коэффициентінің мәні белгінің әртүрлілігінің күштіге жақын орта екендігін көрсетеді. Сонымен, дене салмағының алынған орташа мәні зерттеліп отырған жиынтық үшін жеткілікті типті деп санауға болады. Салыстыру нәтижесінде 1990 ж. қарағанда 2000 ж. 7 жасар ұл балалардың дене салмақтарында әлдеқайда үлкен вариабельділік бар екендігі белгілі болды. (4,68 кг қарсы 3,6 кг). Осыған ұқсас қорытынды вариация коэффициенттерін
салыстырғаннан да келіп шығады (1990 ж. Cтең (3,6*100)/23,8 =15,1%).
