Question

Қабырғалары а,b,c болатын АВС үшбұрышының ауданы S=√p(p-a)(p-b)(p-c) (түбірдің астында) формуласымен есептелетінін дәлелдеңдер.Мұндағы р - үшбұрыштың жарты периметрі,яғни    р=1\2(a+b+c).
Нұсқау.Берілген қабырғалары бойынша үшбұрыштың бір биіктігін тауып,содан соң формуланы ықшамдаңдар.
Ескерту. Ұсынылған  S=√p(p-a)(p-b)(p-c)(түбірдің астында) формуласы осы формуланы қорытып шығарған Ежелгі Грек ғалымының құрметіне Герон формуласы деп аталады.
тезірек шығарып беріңіздерші...?

Answer 1

S=1/2*ab*sin α

мұндағы   α— қарама қарсы қабырғасы   болатындай үшбұрыш бұрышы . Косинустар теоремасына сәйкес:

c^2=a^2+b^2-2ab*cosα

Сондыктан  cosα=(a^2+b^2-c^2)/2ab

Демек,

(sinα)^2=1-(cosα)^2=(1+cosα)(1-cosα)=(2ab-a^2-b^2+c^2)/2ab*(2ab+a^2+b^2-c^2)/2ab=(c^2-〖(a-b)〗^2)/2ab*  (〖(a+b)〗^2-c^2)/2ab=1/(4a^2 b^2 ) (c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

a+b+c=2p  екендігін ескерсе a+b-c=2p-2c

a+c-b=2p-2b,    b-a+c=2p-2a

sin⁡〖α=〗  2/ab √(p(p-a)(p-b)(p-c) )        осылайша   〖S=1/2 ab*sin〗⁡〖α=〗 √(p(p-a)(p-b)(p-c) )

Answer 2

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%93%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0 осы жерден көріңіз

Answer 3

Дәлелі(Тригонометрия арқылы):

Косинус теоремасы бойынша:



теңдігін қолдана отырып: