Натурал сандар арифметиканың ірге тасы. Натурал сандар санау нәтижесінде пайда болған.Натурал сандар жиынын N=1, 2 , 3 ,4 ,...., .... символымен белгілейді.Натурал сандар жиынын үш класқа бөліп ажыратуға болады.Олар:
1 саны;
Жай сандар;
Құрама сандар.
Соның ішінде жай сандарға тоқталайық.
Анықтама.Екі бөлгіші бар натурал сандар жиынын жай сандар деп атайды.
Жай сандардың шексіз екенін гректің ұлы математигі Евклид біздің санауымыздан 300 жыл бұрын дәлелдеген.Осы дәлелдемені келтірейік.
Евклид теоремасы. Жай сандар шексіз.
Дәлелдеуі. Қарсы жорып, жай сандар шекті болсын делік. Олар p , p, p, ….p санын аламыз. Енді осы жай сандардың көбейтіндісіне 1-ді қосып жаңадан p , p, p, ….p санын аламыз. Бұл сан жай сан емес, өйткені жоғарыда аталған сандардың ешқайсысына тең емес, олардың бәрінен үлкен. Құрама сан да жай сан емес, бірақ бұлай болуы мүмкін емес. Бұл қайшылық қарсы жоруымыз дұрыс емес екендігін көрсетеді, демек жай сандар шексіз болады.
Теорема 2. Кез-келген 1-ден артық натурал санның ең болмағанда бір жай бөлгіші бар болады.
Дәлелдеуі. Қарсы жорып, жай бөлшектері жоқ 1-ден артық натурал сандар бар болсын дейік. Олардың жиынын 8 деп белгілейік. А жиынын ең кіші сан а санын алайық. А – жай сан емес және 1-ден артық, ендеше а- құрама сан болғаны.Бірақ , а – құрама сан да емес, а- құрама сан болса,онда оның 1 мен а-дан өзгеше в бөлігі бар болады. Бұл в бөлгіші а- дан кіші болғандықтан А жиынына джатпайды. В саны А жиынына жатпайтын болса, онда оның жай р бөлгіші бар болғаны, ал а саны в –ға , в –саны р-ға бөлінгендіктен( бөлінгіштік қатынастың транзитивтік қатынасы бойынша) а саны р-ға бөлінеді, яғни а санының р бөлгіші бар болады. Бұл қарсы жоруымызға қайшы.Демек, жай бөлгіштері жоқ.1-ден артық натурал сан болмайды екен.
Теореме 3. Құрама а санының ең кіші жай бөлгіші а-дан артық емес.
Дәлелдеуі. А-құрама сан, ал р- оның ең кіші жай бөлгіші болсын. Сонда a=p.в, мұндағы р<в. Егер р>в болса,онда а-ның р-дан да кіші жай бөлгіші болар еді, бұлай болуы мүмкін емес.енді р<в теңсіздігінің екі жағын да р-ға көбейтіп, р=а.в теңсіздігін аламыз, Яғни р а , бұдан р
Сонымен а саны а-дан артпайтын ешбір жай санға бөлінбесе , нода оның жай бөлгіші мүлдем жоқ болғаны , демек а саны жай сан.
Мысалы, 139 санының жай сан екенін анықтайық. Ол үшін 139 санынан жуықтап түбір табамыз, яғни 11 139 12 . 139 саны жай сан болады.
Бізжің жыл санауымызға дейінгі ІІІ- ғасырда Александрия қаласында өмір сүрген гректің Эратосфен( біздің жыл санауымызға дейінгі 276-194 ж. Шамасында) деген математигі және астронымы 1-ден бастап белгілі бір натурал санға дейінгі жай сандарды табудың қарапайым тәсілін ойлап тапты. Бұл тәсілді Эратосфен торы деп атайды.
Мысалы 1-ден 40-қа дейін жай сандарды табу керек дейік. 1-ден 40-қа дейінгі сандарды жазамыз.
2, 3, 5 ,7, 11, 13, 17, 19 ,23, 29, 31, 37.
Бірді сызамыз ол жай санда , құрама сан да емес, содан кейін 2-ге еслі сандардың бәрін сызамыз . Осылайша 3-ке еселі және 5-ке еселі сандарды сызамыз . 3-теорема бойынша 40-тан кіші кез-келген санның ең кіші жай бөлгіші 40-санынан артпайды, яғни жоғарыда келтірілген сандардың 5-тен артық жай бөлгіштері жоқ, яғни сызылмай қалған сандардың ішінде құрама сандар жоқ, олар жай сандар болады.Бұл жай сандар 2, 3, 5,7,11, 13,17,19,23,29,31,3.
Эратосфен жай сандардың таблицасын алу үшін папирусқа жазылған сандардың ішінен құрама сандарды сызбай тесіп отырған Эратосфен торы деген атаудың шығу тегі содан болса керек.
Евклид пен Эратосфеннен кейін де жай сандардың табиғаты көптеген ғалымдарды өзіне тартып келді. Жай сандардың ішкі сырына бұдан 200 жыл бұрын Петербург ғылым Академиясының мүшесі Християн Гольдбах (1690-1764) терең үңіліп, «кез-келген 5-тен артық тақ санды үш жай санның қосындысы түрінде жазуға болады» деген пікір айтты.Жеке мысалдар арқылы бұл пікірдің дұрыстығына көз жеткізуге болады, мысалы 7 = 2+2+3. 11=3+3+5. 13=3+5+5. 17=5+5+7. 19=5+7+7.23=5+7+11. т.с.с.
Алайда , кез-келген тақ үшін жалпы дәлелдемесін тағайындау керек болды.
1937 жылы орыс математигі академик Иван Мотвеевич Виноградов (1891-1983) «жеткілікті үлкен» тақ сандар (« жеткілікті үлкен» тақ сан белгілі бір с санынан басталады. С= мұндағы С санынның мәнін 1956 жылы совет математигі К.Г. Бороздкин тағайындаған) үшін 200 жыл бойы шешілмеген Гольдбах проблемасын шешуге үлкен үлес қосты И: М. Виноградов «жеткілікті үлкен» тақ санды үш жай санның қосындысы түрінде жазуға болатынын дәлелдеп берді. И. М. Виноградов дәлелдемесі тек «жеткілікті үлкен» тақ сандар үшін ғана тағайындалғандықтан , Гольдбах проблемасы әлі күнге дейін толық шешімін тапқан жоқ.
Жай сандар теориясын дамытуға тақты математиктер Леонард Эйлер (1707-1783) ,Л. Ш. Генрихович (1905-1938) П. Л. Чебышевтің (1821-1894) қосқан үлестері ұшан теңіз .
[Мына жерден оқып ал][1]
[1]: http://kk.wikipedia.org/wiki/Сандар_теориясы
